Równanie nazywa się równością matematyczną, która istnieje między dwoma wyrażeniami, składa się z różnych elementów, zarówno znanych (dane), jak i nieznanych (niewiadomych), które są powiązane za pomocą matematycznych operacji numerycznych. Dane są zwykle reprezentowane przez współczynniki, zmienne, liczby i stałe, podczas gdy niewiadome są oznaczone literami i reprezentują wartość, którą chcesz rozszyfrować za pomocą równania. Równania są szeroko stosowane, głównie po to, aby pokazać najbardziej dokładne formy praw matematycznych lub fizycznych, które wyrażają zmienne.
Co to jest równanie
Spis treści
Termin pochodzi od łacińskiego „aequatio”, którego znaczenie odnosi się do wyrównywania. To ćwiczenie jest matematyczną równością istniejącą między dwoma wyrażeniami, które są znane jako elementy składowe, ale są oddzielone znakiem (=), w nich są znane elementy i pewne dane lub niewiadome, które są powiązane operacjami matematycznymi. Wartości to liczby, stałe lub współczynniki, chociaż mogą to być również obiekty, takie jak wektory lub zmienne.
Elementy lub niewiadome są ustalane za pomocą innych równań, ale za pomocą procedury rozwiązywania równań. Układ równań jest badany i rozwiązywany różnymi metodami, w rzeczywistości to samo dzieje się z równaniem obwodu.
Historia równań
Cywilizacja egipska jako jedna z pierwszych wykorzystała dane matematyczne, ponieważ już w XVI wieku stosowali ten system do rozwiązywania problemów związanych z dystrybucją żywności, chociaż nie nazywano ich równaniami, można powiedzieć, że jest to odpowiednik czasu obecnego.
Chińczycy mieli również wiedzę na temat takich rozwiązań matematycznych, ponieważ na początku ery napisali książkę, w której zaproponowano różne metody rozwiązywania ćwiczeń II i I stopnia.
W średniowieczu matematyczne niewiadome zyskały na popularności, ponieważ były wykorzystywane jako publiczne wyzwania przez ówczesnych ekspertów matematyków. W XVI wieku dwóch ważnych matematyków dokonało odkrycia używania liczb urojonych do rozwiązywania danych drugiego, trzeciego i czwartego stopnia.
Również w tym stuleciu Rene Descartes rozsławił notację naukową, a ponadto na tym historycznym etapie upubliczniono jedno z najpopularniejszych twierdzeń matematyki „ostatnie twierdzenie Fermata”.
W XVII wieku naukowcy Gottfried Leibniz i Isaac Newton umożliwili rozwiązanie niewiadomych różniczkowych, co dało początek serii odkryć, które miały miejsce w tym czasie, dotyczących tych konkretnych równań.
Do początku XIX wieku matematycy podejmowali wiele wysiłków, aby znaleźć rozwiązanie równań piątego stopnia, ale wszystkie zakończyły się niepowodzeniem, dopóki Niels Henrik Abel nie odkrył, że nie ma ogólnego wzoru na obliczenie piątego stopnia w tym czasie fizyka wykorzystywała dane różniczkowe w niewiadomych całkowych i pochodnych, co dało początek fizyce matematycznej.
W XX wieku sformułowano pierwsze równania różniczkowe o złożonych funkcjach stosowane w mechanice kwantowej, które mają szeroki zakres badań w teorii ekonomii.
Należy również odnieść się do równania Diraca, które jest częścią badań fal relatywistycznych w mechanice kwantowej i zostało sformułowane w 1928 r. Przez Paula Diraca. Równanie Diraca jest w pełni zgodne ze specjalną teorią względności.
Charakterystyka równania
Ćwiczenia te mają również szereg specyficznych cech lub elementów, między innymi elementy, terminy, niewiadome i rozwiązania. Członkami są te wyrażenia, które znajdują się tuż obok znaków równości. Terminami są te dodatki, które są częścią członków, podobnie niewiadome odnoszą się do liter i wreszcie rozwiązania, które odwołują się do wartości weryfikujących równość.
Rodzaje równań
Istnieją różne rodzaje ćwiczeń matematycznych, których nauczano na różnych poziomach edukacji, na przykład równanie prostej, równanie chemiczne, równoważenie równań lub różne układy równań, jednak należy wspomnieć, że są one podzielone na dane algebraiczne, które z kolei mogą być pierwszego, drugiego i trzeciego stopnia, diofantyczne i wymierne.
Równania algebraiczne
Jest to wycena wyrażona w postaci P (x) = 0, w której P (x) jest wielomianem, który nie jest zerowy, ale nie jest stały, i który ma współczynniki całkowite o stopniu n ≥ 2.
- Liniowy: jest to równość, która ma jedną lub więcej zmiennych w pierwszej potędze i nie potrzebuje produktów między tymi zmiennymi.
- Kwadratowa: ma wyrażenie ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Tutaj zmienna to x, ya, b i c są stałymi, współczynnik kwadratowy to a, który jest różny od 0. Współczynnik liniowy to b i wyraz niezależny jest c.
Charakteryzuje się wielomianem, który jest interpretowany przez równanie paraboli.
- Sześcienne: dane sześcienne, które mają niewiadomą, są odzwierciedlone w trzecim stopniu za pomocą a, b, c i d (a ≠ 0), których liczby są częścią zbioru liczb rzeczywistych lub zespolonych, jednak odnoszą się również do cyfr wymiernych.
- Dwukwadratowa: jest to pojedyncza zmienna wyrażenia algebraicznego czwartego stopnia, która ma tylko trzy wyrazy: jeden stopnia 4, drugi stopnia 2 i człon niezależny. Przykład ćwiczenia biquad jest następujący: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0.
Otrzymuje tę nazwę, ponieważ próbuje wyrazić kluczową koncepcję nakreślającą strategię rozwiązania problemu: dwukrotność oznacza: „podwójnie kwadratowy”. Jeśli się nad tym zastanowić, termin x4 można wyrazić jako (x 2) podniesione do 2, co daje nam x4. Innymi słowy, wyobraź sobie, że wiodącym określeniem nieznanego jest 3 × 4. Podobnie można powiedzieć, że termin ten można również zapisać jako 3 (x2) 2.
- Diopantyny: jest to ćwiczenie algebraiczne, które ma dwie lub więcej niewiadomych, a ponadto jego współczynniki obejmują wszystkie liczby całkowite, dla których należy szukać rozwiązań naturalnych lub całkowitych. To czyni je częścią całej grupy liczbowej.
Ćwiczenia te są przedstawione jako ax + by = c z właściwością warunku wystarczającego i koniecznego, tak że ax + by = c z a, b, c należącymi do liczb całkowitych, ma rozwiązanie.
- Racjonalne: definiuje się je jako iloraz wielomianów, tych samych, w których mianownik ma co najmniej 1 stopień. Mówiąc konkretnie, w mianowniku musi być choćby jedna zmienna. Ogólna forma reprezentująca funkcję racjonalną to:
W którym p (x) iq (x) są wielomianami i q (x) ≠ 0.
- Równoważniki: jest to ćwiczenie z matematyczną równością między dwoma wyrażeniami matematycznymi, zwanymi członkami, w których pojawiają się znane elementy lub dane, a nieznanymi elementami lub niewiadomymi, powiązanymi operacjami matematycznymi. Te wartości równania musi być wykonany z liczb, współczynników lub stałe; Podobnie jak zmienne lub obiekty złożone, takie jak wektory lub funkcje, nowe elementy muszą być utworzone przez inne równania systemu lub inną procedurę rozwiązywania funkcji.
Równania transcendentne
To nic innego jak równość między dwoma wyrażeniami matematycznymi, które mają jedną lub więcej niewiadomych, które są powiązane poprzez operacje matematyczne, które są wyłącznie algebraiczne i mają rozwiązanie, którego nie można podać przy użyciu specyficznych lub odpowiednich narzędzi algebry. Ćwiczenie H (x) = j (x) nazywa się transcendentnym, gdy jedna z funkcji H (x) lub j (x) nie jest algebraiczna.
Równania różniczkowe
W nich funkcje są powiązane z każdą z ich pochodnych. Funkcje mają tendencję do reprezentowania pewnych wielkości fizycznych, z drugiej strony pochodne reprezentują szybkości zmian, podczas gdy równanie definiuje związek między nimi. Te ostatnie mają ogromne znaczenie w wielu innych dyscyplinach, w tym w chemii, biologii, fizyce, inżynierii i ekonomii.
Równania całkowe
Nieznane w funkcjach tych danych pojawiają się bezpośrednio w ich integralnej części. Ćwiczenia całkowe i różniczkowe mają wiele zależności, nawet niektóre problemy matematyczne można sformułować z każdym z tych dwóch, przykładem tego jest model lepkosprężystości Maxwella.
Równania funkcjonalne
Wyraża się poprzez kombinację nieznanych funkcji i zmiennych niezależnych, dodatkowo należy rozwiązać zarówno jego wartość, jak i wyrażenie.
Równania stanu
Są to ćwiczenia konstytutywne dla układów hydrostatycznych, które opisują ogólny stan skupienia lub przyrostu materii, dodatkowo reprezentują zależność między objętością, temperaturą, gęstością, ciśnieniem, funkcjami stanu i energią wewnętrzną związaną z materią..
Równania ruchu
To właśnie to stwierdzenie matematyczne wyjaśnia czasowy rozwój zmiennej lub grupy zmiennych, które określają stan fizyczny systemu, wraz z innymi wymiarami fizycznymi, które sprzyjają zmianie systemu. To równanie w ramach dynamiki punktu materialnego określa przyszłe położenie obiektu na podstawie innych zmiennych, takich jak jego masa, prędkość lub inne, które mogą mieć wpływ na jego ruch.
Pierwszym przykładem równania ruchu w fizyce było wykorzystanie drugiego prawa Newtona dla układów fizycznych złożonych z cząstek i materiałów punktowych.
Równania konstytutywne
To nic innego jak związek między zmiennymi mechanicznymi lub termodynamicznymi istniejącymi w układzie fizycznym, czyli tam, gdzie występuje napięcie, ciśnienie, odkształcenie, objętość, temperatura, entropia, gęstość itp. Wszystkie substancje mają bardzo specyficzną konstytutywną zależność matematyczną, opartą na wewnętrznej organizacji molekularnej.
Rozwiązywanie równań
Aby rozwiązać równania, całkowicie konieczne jest znalezienie dziedziny ich rozwiązania, to znaczy zbioru lub grupy wartości niewiadomych, w których ich równość jest spełniona. Można skorzystać z kalkulatora równań, ponieważ te problemy są zwykle wyrażane w jednym lub kilku ćwiczeniach.
Należy również wspomnieć, że nie wszystkie te ćwiczenia mają rozwiązanie, ponieważ jest całkiem prawdopodobne, że nie ma wartości w nieznanym, która weryfikuje uzyskaną równość. W tego typu przypadkach rozwiązania ćwiczeń są puste i wyrażone jako nierozwiązywalne równanie.
Przykłady równań
- Ruch: z jaką prędkością musi przejechać samochód wyścigowy, aby przejechać 50 km w kwadrans? Ponieważ odległość jest wyrażona w kilometrach, czas należy zapisać w jednostkach godzin, aby uzyskać prędkość w km / h. Mając to na uwadze, czas trwania ruchu wynosi:
Odległość samochód porusza się:
Oznacza to, że jego prędkość musi wynosić:
Formuła to:
Dlatego musimy zostawić „n” i otrzymujemy:
Następnie dane są podstawiane:
A liczba moli wynosi 13,64 mola.
Teraz należy obliczyć masę. Ponieważ jest to wodór, należy odnieść się do jego masy atomowej lub masy molowej, która jest cząsteczką dwuatomową złożoną z dwóch atomów wodoru.
Jego masa cząsteczkowa wynosi 2 g / mol (ze względu na swoją dwuatomową charakterystykę), otrzymuje się wówczas:
Oznacza to, że uzyskano masę 27,28 gramów.
- Konstytutywne: do sztywnej belki przymocowane są 3 pręty. Dane są następujące: P = 15 000 funtów siły, a = 5 stóp, b = 5 stóp, c = 8 stóp (1 stopa = 12 cali).
Rozwiązaniem jest założenie, że występują niewielkie odkształcenia i że śruba jest całkowicie sztywna, dlatego przy przykładaniu siły P belka AB będzie się sztywno obracać zgodnie z punktem B.
