Algebra jest gałęzią matematyki numery zastosowania, litery i znaki odnoszą się do różnych operacji arytmetycznych wykonywanych. Dzisiaj algebra jako zasób matematyczny jest używana w relacjach, strukturach i ilości. Algebra elementarna jest najbardziej powszechna, ponieważ wykorzystuje operacje arytmetyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, ponieważ w przeciwieństwie do arytmetyki używa ona symboli takich jak xy, które są najczęściej używane zamiast liczb.
Co to jest algebra
Spis treści
Jest to gałąź matematyki, która pozwala rozwijać i rozwiązywać zadania arytmetyczne poprzez litery, symbole i cyfry, które z kolei symbolizują przedmioty, przedmioty lub grupy elementów. To pozwala na sformułowanie operacje, które zawierają nieznane numery, zwane niewiadomych i sprawia, że rozwój równań możliwych.
Dzięki algebrze człowiek mógł liczyć w sposób abstrakcyjny i rodzajowy, ale także bardziej zaawansowany, dzięki bardziej złożonym obliczeniom, opracowanym przez intelektualistów matematycznych i fizycznych, takich jak Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) czy Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dzięki którego wkładowi mamy dziś znaną definicję algebry.
Jednak zgodnie z historią algebry, Diofant z Aleksandrii (nieznana data urodzenia i śmierci, prawdopodobnie żył między III a IV wiekiem), był w rzeczywistości ojcem tej gałęzi, ponieważ opublikował pracę o nazwie Arithmetica, która Składał się z trzynastu książek, w których przedstawił problemy z równaniami, które choć nie miały charakteru teoretycznego, były adekwatne do ogólnych rozwiązań. Pomogło to zdefiniować, czym jest algebra, a wśród wielu jego wkładów była to implementacja uniwersalnych symboli do reprezentacji nieznanego w zmiennych rozwiązanego problemu.
Pochodzenie słowa „algebra” pochodzi z języka arabskiego i oznacza „przywrócenie” lub „rozpoznanie”. W ten sam sposób ma to swoje znaczenie po łacinie, co oznacza „redukcję” i chociaż nie są to identyczne terminy, oznaczają to samo.
Jako dodatkowe narzędzie do nauki tej gałęzi można skorzystać z kalkulatora algebraicznego, czyli kalkulatorów, które mogą tworzyć wykresy funkcji algebraicznych. Umożliwiając w ten sposób między innymi całkowanie, wyprowadzanie, upraszczanie wyrażeń i funkcji wykresów, tworzenie macierzy, rozwiązywanie równań, chociaż to narzędzie jest bardziej odpowiednie dla wyższego poziomu.
W algebrze jest termin algebraiczny, który jest iloczynem współczynnika liczbowego co najmniej jednej litery zmiennej; w którym każdy termin można rozróżnić na podstawie jego współczynnika liczbowego, jego zmiennych reprezentowanych przez litery i stopnia terminu przez dodanie wykładników elementów literału. Oznacza to, że dla algebraicznego terminu p5qr2 współczynnik będzie wynosił 1, jego część dosłowna będzie wynosić p5qr2, a jego stopień wyniesie 5 + 1 + 2 = 8.
Co to jest wyrażenie algebraiczne
Jest to wyrażenie złożone ze stałych całkowitych, zmiennych i operacji algebraicznych. Wyrażenie algebraiczne składa się ze znaków lub symboli i innych określonych elementów.
W algebrze elementarnej, a także w arytmetyce, operacje algebraiczne, które są używane do rozwiązywania problemów to: dodawanie lub dodawanie, odejmowanie lub odejmowanie, mnożenie, dzielenie, empowerment (mnożenie razy) i radioterapia (odwrotne działanie wzmocnienia).
Znaki używane w tych operacjach są takie same, jak te używane w arytmetyce do dodawania (+) i odejmowania (-), ale w przypadku mnożenia X (x) jest zastępowany kropką (.) Lub można je przedstawić za pomocą znaków grupujących (przykład: cd i (c) (d) są równoważne elementowi „c” pomnożonemu przez element „d” lub cxd), aw podziale algebraicznym używane są dwa punkty (:).
Używane są również znaki grupujące, takie jak nawiasy kwadratowe (), nawiasy kwadratowe, nawiasy klamrowe {} i poziome paski. Stosowane są również znaki związku, które są używane do wskazania, że istnieje korelacja między dwoma danymi, a wśród najczęściej używanych są równe (=), większe niż (>) i mniejsze niż (<).
Charakteryzują się również wykorzystaniem liczb rzeczywistych (wymiernych, które obejmują dodatnie, ujemne i zerowe; i nieracjonalnych, czyli takich, których nie można przedstawić jako ułamki) lub złożonych, które są częścią liczb rzeczywistych, tworząc algebraicznie zamknięte pole.
To są główne wyrażenia algebraiczne
Istnieją wyrażenia, które są częścią koncepcji tego, czym jest algebra. Wyrażenia te są podzielone na dwa typy: jednomiany, czyli te, które mają jeden dodatek; i wielomiany, które mają dwa (dwumiany), trzy (trójomiany) lub więcej addendów.
Oto kilka przykładów jednomianów: 3x, π
Chociaż niektóre wielomiany mogą być: 4 × 2 + 2x (dwumian); 7ab + 3a3 (trójmian)
Należy wspomnieć, że jeśli zmienna (w tym przypadku „x”) znajduje się w mianowniku lub w pierwiastku, wyrażenia nie byłyby jednomianami ani wielomianami.
Czym jest algebra liniowa
Ten obszar matematyki i algebry zajmuje się badaniem pojęć wektorów, macierzy, układów równań liniowych, przestrzeni wektorowych, przekształceń liniowych i macierzy. Jak widać, algebra liniowa ma różne zastosowania.
Jego użyteczność waha się od badania przestrzeni funkcji, czyli tych, które są zdefiniowane przez zbiór X (poziomo) do zbioru Y (w pionie) i są stosowane do przestrzeni wektorowych lub topologicznych; równania różniczkowe, które wiążą funkcję (wartość zależną od drugiej wartości) z jej pochodnymi (chwilowe tempo zmian, które powoduje zmianę wartości danej funkcji); badania operacyjne, które wykorzystują zaawansowane metody analityczne do podejmowania trafnych decyzji; do inżynierii.
Jedną z głównych osi badań algebry liniowej są przestrzenie wektorowe, które składają się ze zbioru wektorów (odcinków prostej) i zbioru skalarów (liczb rzeczywistych, stałych lub zespolonych, które mają wielkość, ale nie charakterystyka wektorowa kierunku).
Główne skończone wymiarowe przestrzenie wektorowe to trzy:
- Te wektory Rn, które stanowią współrzędne kartezjańskie (oś pozioma X i oś pionowa Y).
- Te matryce, które są prostokątne wyrażeniami układy (reprezentowane przez cyfr lub symboli), charakteryzują się wieloma rzędami (zwykle reprezentowane przez litery „M”), a liczba kolumn (oznaczone literą „n”) i są używane w nauce i inżynierii.
- Przestrzeń wektorowa wielomianów tej samej zmiennej, określona przez wielomiany, które nie przekraczają stopnia 2, ma współczynniki rzeczywiste i znajduje się na zmiennej „x”.
Funkcje algebraiczne
Odnosi się do funkcji, która odpowiada wyrażeniu algebraicznemu, a jednocześnie spełnia równanie wielomianu (jego współczynniki mogą być jednomianami lub wielomianami). Są one klasyfikowane jako: wartość racjonalna, nieracjonalna i bezwzględna.
- Liczbowe funkcje wymierne to te wyrażone w:, gdzie „P” i „Q” reprezentują dwa wielomiany, a „x” zmienną, gdzie „Q” różni się od zerowego wielomianu, a zmienna „x” nie usuwa mianownika.
- Funkcje irracjonalne, w których wyrażenie f (x) reprezentuje rodnik, na przykład: Jeśli wartość „n” jest parzysta, rodnik zostanie zdefiniowany tak, że g (x) jest większe i równe 0, a znak wyniku również musi być wskazany, ponieważ bez niego nie można by mówić o funkcji, ponieważ dla każdej wartości „x” byłyby dwa wyniki; podczas gdy jeśli indeks rodnika jest nieparzysty, ten drugi nie jest konieczny, ponieważ wynik byłby niepowtarzalny.
- Funkcje wartości bezwzględnych, w których wartością bezwzględną liczby rzeczywistej będzie jej wartość liczbowa, pomijając jej znak. Na przykład 5 będzie wartością bezwzględną zarówno 5, jak i -5.
Istnieją wyraźne funkcje algebraiczne, w których zmienna „y” będzie wynikiem połączenia zmiennej „x” ograniczoną liczbę razy przy użyciu operacji algebraicznych (na przykład dodawania algebraicznego), do których zalicza się podniesienie do potencji i ekstrakcji korzeni; przełożyłoby się to na y = f (x). Przykładem tego typu funkcji algebraicznej może być: y = 3x + 2 lub co byłoby tym samym: (x) = 3x + 2, ponieważ „y” jest wyrażone tylko w postaci „x”.
Z drugiej strony są te ukryte, czyli takie, w których zmienna „y” nie jest wyrażona tylko jako funkcja zmiennej „x”, a więc y ≠ f (x). Jako przykład tego typu funkcji mamy: y = 5x3y-2
Przykłady funkcji algebraicznych
Istnieje co najmniej 30 typów funkcji algebraicznych, ale do najważniejszych należą następujące przykłady:
1. Funkcja jawna: ƒ () = sin
2. Funkcja uwikłana: yx = 9 × 3 + x-5
3. Funkcja wielomianu:
a) Stała: ƒ () = 6
b) Pierwszy stopień lub liniowy: ƒ () = 3 + 4
c) Drugi stopień lub kwadrat: ƒ () = 2 + 2 + 1 lub (+1) 2
d) Trzeci stopień lub sześcienny: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Funkcja wymierna: ƒ
5. Potencjalna funkcja: ƒ () = - 1
6. Funkcja radykalna: ƒ () =
7. Funkcja według sekcji: ƒ () = jeśli 0 ≤ ≤ 5
Czym jest algebra Baldora
Mówiąc o tym, czym jest algebra Baldora, odnosi się ona do pracy matematyka, profesora, pisarza i prawnika Aurelio Baldora (1906–1978), która została opublikowana w 1941 r. W publikacji profesora, który urodził się w Hawanie na Kubie, poddano przeglądowi 5790 ćwiczeń, co odpowiada średnio 19 ćwiczeniom na test.
Baldor opublikował inne prace, takie jak „Geometria płaszczyzny i przestrzeni”, „Trygonometria Baldora” i „Arytmetyka Baldora”, ale największy wpływ na tę dziedzinę miała „Algebra Baldora”.
Ten materiał jest jednak bardziej polecany na średniozaawansowany poziom nauczania (np. Szkoła średnia), ponieważ na wyższych poziomach (uniwersytet) raczej nie stanowiłby uzupełnienia innych bardziej zaawansowanych tekstów na tym poziomie.
Słynna okładka przedstawiająca perskiego, muzułmańskiego matematyka, astronoma i geografa Al-Juarismi (780-846), wywołała zamieszanie wśród uczniów, którzy używali tego słynnego narzędzia matematycznego, ponieważ uważa się, że ta postać dotyczy jej autor Baldor.
Treść pracy podzielona jest na 39 rozdziałów oraz załącznik zawierający tabele obliczeń, tabelę podstawowych form dekompozycji czynnikowej oraz tabele pierwiastków i potęg; a na końcu tekstu są odpowiedzi na ćwiczenia.
Na początku każdego rozdziału znajduje się ilustracja, która odzwierciedla historyczny przegląd koncepcji, która zostanie rozwinięta i wyjaśniona poniżej, i wymienia wybitne postaci historyczne w tej dziedzinie, zgodnie z historycznym kontekstem, w którym znajduje się odniesienie do koncepcji. Te postacie obejmują od Pitagorasa, Archimedesa, Platona, Diofantusa, Hypatii i Euclida, po René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck i Albert Einstein.
Jaka była sława tej książki?
Jego sukces polega na tym, że oprócz tego, że jest słynnym obowiązkowym dziełem literackim w liceach latynoamerykańskich, jest najczęściej konsultowaną i kompletną książką na ten temat, ponieważ zawiera jasne wyjaśnienie pojęć i ich równań algebraicznych, a także dane historyczne dotyczące aspektów studiować, w którym obsługiwany jest język algebraiczny.
Ta książka jest dla studentów par excellence inicjacją w świat algebraiczny, chociaż dla niektórych stanowi źródło inspirujących studiów, a dla innych jest to obawa, prawda jest taka, że jest to obowiązkowa i idealna bibliografia dla lepszego zrozumienia poruszanych tematów..
Co to jest algebra Boole'a
Angielski matematyk George Boole (1815-1864) stworzył zbiór praw i reguł wykonywania operacji algebraicznych, do tego stopnia, że jego części nadano nazwę. Z tego powodu angielski matematyk i logik uważany jest za jednego z prekursorów informatyki.
W problemach logicznych i filozoficznych prawa, które rozwinął Boole, pozwoliły na uproszczenie ich w dwóch stanach, które są stanem prawdziwym lub stanem fałszywym, a wnioski te wyciągnięto matematycznie. Niektóre zaimplementowane układy sterowania, takie jak styczniki i przekaźniki, wykorzystują elementy otwarte i zamknięte, przy czym otwarty jest tym, który przewodzi, a zamknięty, który nie. W algebrze Boole'a jest to znane jako wszystko albo nic.
Takie stany mają liczbową reprezentację 1 i 0, gdzie 1 reprezentuje prawdę, a 0 fałsz, co ułatwia ich badanie. Zgodnie z tym wszystkim, dowolny składnik wszelkiego rodzaju lub nic nie może być reprezentowane przez zmienną logiczną, co oznacza, że może mieć wartość 1 lub 0, te reprezentacje są znane jako kod binarny.
Algebra Boole'a umożliwia uproszczenie obwodów logicznych lub przełączania logiki w elektronice cyfrowej; również dzięki niemu obliczenia i operacje logiczne obwodów mogą być przeprowadzane w bardziej ekspresyjny sposób.
W algebrze Boole'a istnieją trzy podstawowe procedury, którymi są: iloczyn logiczny, bramka AND lub funkcja przecięcia; suma logiczna, bramka OR lub funkcja sumująca; i logiczna negacja, NIE funkcja bramki lub dopełnienia. Istnieje również kilka funkcji pomocniczych: logiczna negacja produktu, bramka NAND; negacja sumy logicznej, bramka NOR; wyłączna suma logiczna, bramka XOR; i negacja wyłącznej sumy logicznej, bramka XNOR.
W algebrze Boole'a istnieje szereg praw, wśród których są:
- Prawo anulowania. Nazywany również prawem anulowania, mówi, że w pewnym ćwiczeniu po procesie niezależny termin zostanie anulowany, tak że (AB) + A = A i (A + B). A = A.
- Prawo tożsamości. Albo o tożsamości elementów 0 i 1, ustala, że zmienna, do której dodaje się element zerowy lub 0, będzie równa tej samej zmiennej A + 0 = A w taki sam sposób, jak gdyby zmienna została pomnożona przez 1, wynik jest taki sam A.1 = a.
- Idempotentne prawo. Stwierdza, że dana czynność może być wykonywane kilka razy i ten sam wynik, tak, że jeśli masz kombinację A + A = A, a jeśli jest to alternatywa AA = A.
- Prawo przemienne. Oznacza to, że bez względu na kolejność, w którym zmienne, tak, A + B = A + B.
- Prawo podwójnej negacji. O zanikania, że jeśli zaprzeczenie jest pozytywny innym odmowie, tak, że (A) = A”.
- Twierdzenie Morgana. Mówi się, że suma pewnej ilości zanegowanych zmiennych w ogóle będzie równa iloczynowi każdej zanegowanej zmiennej niezależnie, więc (A + B) '= A'.B' i (AB) '= A' + B '.
- Prawo dystrybucyjne. Ustala, że gdy niektóre zmienne zostaną połączone, które zostaną pomnożone przez inną zmienną zewnętrzną, będzie to to samo, co pomnożenie każdej zmiennej zgrupowanej przez zmienną zewnętrzną, jak następuje: A (B + C) = AB + AC.
- Prawo absorpcji. Mówi się, że jeśli zmienna A implikuje zmienną B, to zmienna A będzie implikować A i B, a A zostanie „wchłonięta” przez B.
- Prawo stowarzyszeniowe. W przypadku rozłączenia lub łączenia kilku zmiennych wynik będzie taki sam niezależnie od ich grupowania; tak, że w dodaniu A + (B + C) = (A + B) + C (pierwszy element plus asocjacja dwóch ostatnich jest równy asocjacji dwóch pierwszych plus ostatni).
